Avec les nombres complexes, un point devient un nombre. Distances, angles, milieux, triangles particuliers ou ensembles de points se traduisent alors par des calculs sur les affixes : c’est un outil puissant pour démontrer des résultats de géométrie plane.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Calculer l’affixe d’un vecteur, d’un milieu, d’un barycentre simple
- Calculer une distance et un angle orienté à l’aide des affixes
- Démontrer un alignement, une orthogonalité ou la nature d’un triangle
- Déterminer un ensemble de points défini par une condition sur les affixes
1. Affixes, distances et angles
- Le vecteur AB⃗ a pour affixe zB − zA.
- Le milieu I de [AB] a pour affixe .
- AB = |zB − zA|.
- (u⃗, AB⃗) = arg(zB − zA) [2π] (A ≠ B).
(AB⃗, AC⃗) = arg() [2π]
A(1 + i) et B(4 + 5i) : longueur AB
- zB − zA = 3 + 4i
- AB = |3 + 4i| = √(9 + 16) = 5
AB = 5.
2. Alignement, orthogonalité, triangles
Pour A, B, C distincts, on étudie le quotient q = : son module vaut et son argument est l’angle (AB⃗, AC⃗).
| Le quotient q est… | Conclusion |
|---|---|
| un réel | A, B, C sont alignés |
| un imaginaire pur | (AB) ⊥ (AC) : triangle rectangle en A |
| de module 1 | AB = AC : triangle isocèle en A |
| égal à i ou −i | triangle rectangle isocèle en A |
| égal à eiπ/3 ou e−iπ/3 | triangle équilatéral |
A(1), B(i), C(−1) : nature du triangle ABC
- On calcule = .
- En multipliant par le conjugué −1 + i : = = i.
- Module 1 : BA = BC ; argument : (BC⃗, BA⃗) = .
ABC est rectangle isocèle en B.
3. Ensembles de points
- |z − a| = r (r > 0) : cercle de centre A(a) et de rayon r.
- |z − a| = |z − b| : médiatrice de [AB].
- arg(z − a) = θ [2π] : demi-droite d’origine A (privée de A).
4. Écritures complexes de transformations
- Translation de vecteur w⃗ d’affixe b : z′ = z + b.
- Rotation de centre O et d’angle θ : z′ = eiθz.
- Rotation de centre Ω(ω) et d’angle θ : z′ − ω = eiθ(z − ω).
Construire un carré
ABCD est un carré direct si D est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle , et C = B + D − A.
- zD = zA + i(zB − zA)
- zC = zB + zD − zA
À retenir
- AB = |zB − zA| et (AB⃗, AC⃗) = arg().
- Quotient réel : alignement ; imaginaire pur : angle droit ; module 1 : isocèle.
- |z − a| = r : cercle ; |z − a| = |z − b| : médiatrice.
- Rotation de centre Ω et d’angle θ : z′ − ω = eiθ(z − ω).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.