Quand on étudie deux caractères à la fois (par exemple le sexe et la pratique d’un sport), un tableau croisé permet de calculer des proportions « à l’intérieur » d’un groupe. Cette idée conduit à la probabilité conditionnelle : la probabilité d’un événement sachant qu’un autre est réalisé.
Objectifs
- Lire et compléter un tableau croisé d’effectifs
- Calculer des fréquences marginales et conditionnelles
- Calculer une probabilité conditionnelle P_{A}(B)
- Construire et utiliser un arbre pondéré
- Distinguer P_{A}(B) et P_{B}(A)
1. Tableau croisé et fréquences
| Sport (S) | Pas de sport | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles (F) | 117 | 143 | 260 |
| Garçons (G) | 132 | 108 | 240 |
| Total | 249 | 251 | 500 |
- Fréquence marginale : on divise un total par l’effectif global. Proportion de sportifs : = 0,498.
- Fréquence conditionnelle : on se restreint à une ligne ou une colonne. Proportion de sportifs parmi les filles : = 0,45.
- Proportion de filles parmi les sportifs : ≈ 0,47. Ce n’est pas la même chose !
2. Probabilité conditionnelle
Probabilité de B sachant A : Soit A un événement de probabilité non nulle. La probabilité de B sachant A est PA(B) = .
On choisit un élève au hasard dans le lycée ci-dessus
- PF(S) = = 0,45 : probabilité qu’il fasse du sport sachant que c’est une fille.
- PS(F) = ≈ 0,47 : probabilité que ce soit une fille sachant qu’il fait du sport.
P(A ∩ B) = P(A) × PA(B)
3. Arbres pondérés
Un arbre pondéré représente une expérience en deux étapes. Sur les premières branches, on écrit P(A) et P(Ā) ; sur les branches suivantes, les probabilités conditionnelles PA(B), PA(B̄)…
- La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
- La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B).
P(A) = 0,6 et PA(B) = 0,3
- P(Ā) = 1 − 0,6 = 0,4 et PA(B̄) = 1 − 0,3 = 0,7.
- P(A ∩ B) = 0,6 × 0,3 = 0,18.
4. Ne pas confondre P_{A}(B) et P_{B}(A)
Exemple de dépistage, avec une population fictive de 10 000 personnes : 1 % sont malades (M). Le test est positif (T) chez 99 % des malades, mais aussi chez 2 % des personnes non malades (faux positifs).
| T (positif) | T̄ (négatif) | Total | |
|---|---|---|---|
| M (malade) | 99 | 1 | 100 |
| M̄ (non malade) | 198 | 9 702 | 9 900 |
| Total | 297 | 9 703 | 10 000 |
À retenir
- Fréquence conditionnelle : on se restreint à une ligne ou une colonne du tableau croisé.
- PA(B) = .
- P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) : on multiplie le long d’un chemin.
- Les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1.
- En général, PA(B) ≠ PB(A).
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.