On ne peut pas prévoir le résultat d’un lancer de dé, mais on peut mesurer ses chances. Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 qui modélise ces chances. La loi des grands nombres fait le lien entre ce modèle et les fréquences observées lors d’expériences répétées.
Objectifs
- Utiliser le vocabulaire : issue, univers, événement
- Calculer une probabilité dans une situation d’équiprobabilité
- Utiliser l’événement contraire, la réunion et l’intersection
- Comprendre la loi des grands nombres et simuler une expérience
1. Vocabulaire
- Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, appelés issues, et on ne peut pas prévoir lequel se produira.
- L’univers Ω est l’ensemble des issues. Un événement est une partie de Ω.
- Lancer d’un dé à 6 faces : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. L’événement A « obtenir un nombre pair » est A = {2 ; 4 ; 6}.
| Événement | Notation | Réalisé quand… |
|---|---|---|
| contraire de A | Ā | A n’est pas réalisé |
| A et B | A ∩ B | A et B sont réalisés tous les deux |
| A ou B | A ∪ B | au moins l’un des deux est réalisé |
| incompatibles | A ∩ B = ∅ | A et B ne peuvent pas se produire ensemble |
2. Loi de probabilité
Définir une loi de probabilité sur Ω = {x₁ ; … ; xn}, c’est associer à chaque issue un nombre pᵢ ≥ 0, avec p₁ + p₂ + … + pn = 1. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent.
Équiprobabilité : Si toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, tirage « au hasard »…), alors P(A) = .
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0.
- P(Ā) = 1 − P(A).
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; si A et B sont incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes
- Il y a 8 cœurs : P(cœur) = = 0,25.
- Il y a 4 rois : P(roi) = .
- P(cœur ou roi) = + − = (le roi de cœur est compté deux fois sinon).
3. Loi des grands nombres et simulation
On peut l’observer en simulant l’expérience avec Python : la fonction randint(1, 6) du module random renvoie un entier au hasard entre 1 et 6.
from random import randint
def frequence_six(n):
compteur = 0
for i in range(n):
if randint(1, 6) == 6:
compteur = compteur + 1
return compteur / nÀ retenir
- Équiprobabilité : P(A) = nombre d’issues favorables / nombre total d’issues.
- P(Ā) = 1 − P(A).
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
- Loi des grands nombres : la fréquence observée se rapproche de la probabilité quand le nombre d’expériences augmente.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.