Les puissances permettent d’écrire de très grands ou de très petits nombres et de calculer vite. Les racines carrées apparaissent dès qu’on calcule une longueur (Pythagore, distances). Ce chapitre rassemble les règles de calcul à maîtriser parfaitement.
Objectifs
- Appliquer les règles de calcul sur les puissances entières
- Utiliser la notation scientifique
- Connaître et démontrer les propriétés des racines carrées
- Simplifier une expression contenant des racines carrées
1. Puissances entières
Puissance : Pour a réel et n entier naturel non nul : aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). Pour a ≠ 0 : a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = .
| Règle | Exemple |
|---|---|
| aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| = aᵐ⁻ⁿ | = 10³ |
| (aᵐ)ⁿ = am×n | (5²)³ = 5⁶ |
| (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2x)³ = 8x³ |
| ()ⁿ = | ()² = |
2. Notation scientifique
Notation scientifique : Tout décimal non nul s’écrit de façon unique a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10 et n entier relatif.
Exemple
- 0,000 52 = 5,2 × 10⁻⁴
- 384 000 = 3,84 × 10⁵
- (3 × 10⁴) × (5 × 10⁻⁷) = 15 × 10⁻³ = 1,5 × 10⁻²
3. Racines carrées
Racine carrée : Pour a ≥ 0, √a est l’unique réel positif dont le carré vaut a : (√a)² = a.
- Pour tout réel a : √(a²) = |a|.
- Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : √(ab) = √a × √b.
- Pour a ≥ 0 et b > 0 : √() = .
Démonstration de √(ab) = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)
- (√a × √b)² = (√a)² × (√b)² = ab.
- √a × √b est positif (produit de deux positifs).
- C’est donc le nombre positif dont le carré est ab : c’est √(ab).
4. Simplifier des racines carrées
Écrire √50 sous la forme a√b avec b entier le plus petit possible
- On cherche un carré parfait qui divise 50 : 50 = 25 × 2.
- √50 = √25 × √2 = 5√2
√50 = 5√2
Utiliser une identité remarquable
- (√5 − 1)(√5 + 1) = (√5)² − 1²
- = 5 − 1 = 4
À retenir
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = am×n ; a⁻ⁿ = .
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10.
- √a est positif et (√a)² = a ; √(a²) = |a|.
- √(ab) = √a × √b, mais √(a + b) ≠ √a + √b.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.