Dans ℝ, l’équation x³ = 1 n’a qu’une solution. Dans ℂ, elle en a trois, et leurs images forment un triangle équilatéral ! Plus généralement, les solutions de zⁿ = 1 sont les sommets d’un polygone régulier : un très bel exemple du lien entre algèbre et géométrie.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Déterminer l’ensemble Uₙ des racines n-ièmes de l’unité
- Représenter les racines n-ièmes de l’unité dans le plan
- Connaître et utiliser j = e^{2iπ/3} et la relation 1 + j + j² = 0
- Calculer la somme des racines n-ièmes de l’unité
1. Définition et description
Racine n-ième de l’unité : Soit n ≥ 1 un entier. On appelle racine n-ième de l’unité tout complexe z tel que zⁿ = 1. Leur ensemble est noté Uₙ.
Uₙ = { e2ikπ/n : k ∈ {0, 1, …, n − 1} }
Pourquoi cette formule ?
- Si zⁿ = 1, alors |z|ⁿ = 1, donc |z| = 1 : on écrit z = eiθ.
- zⁿ = einθ = 1 ⟺ nθ = 0 [2π] ⟺ θ = avec k entier.
- Les valeurs k = 0, 1, …, n − 1 donnent n nombres distincts ; ensuite on retrouve les mêmes.
2. Représentation géométrique
Les images des racines n-ièmes de l’unité sont sur le cercle unité, régulièrement espacées d’un angle : pour n ≥ 3, ce sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés dont l’un des sommets est le point d’affixe 1.
| n | Racines n-ièmes de l’unité | Figure |
|---|---|---|
| 2 | 1 ; −1 | segment |
| 3 | 1 ; j ; j² | triangle équilatéral |
| 4 | 1 ; i ; −1 ; −i | carré |
| 6 | eikπ/3, k = 0 à 5 | hexagone régulier |
3. Le nombre j
j : On note j = e2iπ/3 = − + i. Les racines cubiques de l’unité sont 1, j et j².
- j³ = 1 ;
- 1 + j + j² = 0 ;
- j̄ = j² = .
4. Somme des racines n-ièmes
Pour n ≥ 2 : 1 + ω + ω² + … + ωⁿ⁻¹ = 0, où ω = e2iπ/n
Preuve : c’est la somme des termes d’une suite géométrique de raison ω ≠ 1, donc elle vaut = 0 car ωⁿ = 1. Géométriquement, le centre de gravité du polygone régulier est O.
À retenir
- zⁿ = 1 a exactement n solutions : e2ikπ/n, k = 0, …, n − 1.
- Leurs images sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.
- j = e2iπ/3 vérifie j³ = 1 et 1 + j + j² = 0.
- Pour n ≥ 2, la somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.