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Racines n-ièmes de l’unité
Les solutions de zⁿ = 1 sont les n nombres e2ikπ/n ; elles forment un polygone régulier et leur somme est nulle.
Racines n-ièmes de l’unité
- Uₙ = {e2ikπ/n, k = 0, …, n − 1} : n éléments.
- Polygone régulier à n sommets inscrit dans le cercle unité.
- Somme nulle pour n ≥ 2.
Le nombre j
- j = e2iπ/3 = − + i.
- j³ = 1, 1 + j + j² = 0, j̄ = j².
Équation zⁿ = a
- Écrire a = reiα, chercher z = ρeiθ : ρⁿ = r et nθ = α [2π].
- Solutions : une solution particulière × racines n-ièmes de l’unité.
Pièges à éviter
- Ne pas oublier que k va de 0 à n − 1 : il y a n racines, pas une seule.
- La somme 1 + ω + … + ωⁿ⁻¹ est nulle seulement si ω ≠ 1.
- j² est le conjugué de j, pas son opposé.