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Exercices : racines n-ièmes de l’unité

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Racines n-ièmes de l’unité — S’entraîner

Feuille d’exercices

Prénom : ……………………………Date : ……………………Score : ……… / 10

Raisonne avec la forme exponentielle et fais une figure : les racines sont régulièrement réparties sur le cercle.

Exercice 1
Combien y a-t-il de racines 6-ièmes de l’unité dans ℂ ?
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 2 — Coche la bonne réponse.
Quelles sont les racines cubiques de l’unité ?
- 1 seulement
- 1, − + i et − − i
- 1, i et −i
- 1, −1 et i
Exercice 3
Calcule 1 + j + j².
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 4 — Coche « Vrai » ou « Faux ».
−1 est une racine 4-ième de l’unité.
VraiFaux
Exercice 5 — Coche la bonne réponse.
Que vaut j²⁰²⁶ ?
- 1
- j
- j²
- −1
Exercice 6 — Coche la bonne réponse.
Pour n ≥ 3, les images des racines n-ièmes de l’unité sont les sommets…
- d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité
- d’un polygone régulier à n côtés de côté 1
- d’un polygone quelconque
- d’un polygone régulier à 2n côtés
Exercice 7
Les racines 4-ièmes de l’unité forment un carré. Donne la longueur de son côté arrondie au millième.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 8 — Relie chaque élément de gauche à celui de droite.
Associe chaque ensemble à ses éléments.
1. 1. U₁
2. 2. U₂
3. 3. U₃
4. 4. U₄
- A. 1, i, −1 et −i
- B. 1 et −1
- C. 1
- D. 1, j et j²
Exercice 9
Calcule le produit des racines 4-ièmes de l’unité.
Écris tes calculs :
Réponse : ………………
Exercice 10 — Complète les trous.
Complète.
Pour n ≥ 2, la somme des racines n-ièmes de l’unité vaut . Leurs images sont les sommets d’un polygone inscrit dans le cercle .

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Racines n-ièmes de l’unité — S’entraîner

Corrigé détaillé — pour les parents et les enseignants

Exercice 1
Réponse : 6
Il y a exactement n racines n-ièmes de l’unité : e^2ikπ/6 = e^ikπ/3 pour k = 0, …, 5.
Exercice 2
Réponse : 1, − + i et − − i
Ce sont e⁰ = 1, e^2iπ/3 = j et e^4iπ/3 = j² = j̄.
Exercice 3
Réponse : 0
Somme des racines cubiques de l’unité : = 0. On vérifie : 1 + (− + i) + (− − i) = 0.
Exercice 4
Réponse : Vrai
(−1)⁴ = 1. Les racines 4-ièmes de l’unité sont 1, i, −1 et −i.
Exercice 5
Réponse : j
j³ = 1 et 2026 = 3 × 675 + 1, donc j²⁰²⁶ = (j³)⁶⁷⁵ × j = j.
Exercice 6
Réponse : d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité
Elles ont toutes un module 1 et sont espacées d’un angle . Le côté vaut 1 seulement pour n = 6.
Exercice 7
Réponse : 1,414
Le côté va de 1 à i : |i − 1| = √(1 + 1) = √2 ≈ 1,414.
Exercice 8
Réponse : 1 → C · 2 → B · 3 → D · 4 → A
Uₙ contient les n nombres e^2ikπ/n, k = 0, …, n − 1.
Exercice 9
Réponse : -1
On multiplie 1, i, −1 et −i.
1. 1 × i = i
2. i × (−1) = −i
3. −i × (−i) = i² = −1
Exercice 10
Réponse : 0 · régulier · unité
Somme d’une suite géométrique de raison e^2iπ/n ≠ 1 ; points du cercle de rayon 1 régulièrement espacés.

Raisonne avec la forme exponentielle et fais une figure : les racines sont régulièrement réparties sur le cercle.

Exercices corrigés : 0 / 10

Exercice 1 sur 10
Calcul
Combien y a-t-il de racines 6-ièmes de l’unité dans ℂ ?
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 2 sur 10
QCM
Quelles sont les racines cubiques de l’unité ?
Choisis une réponse
1 seulement1, − + i et − − i1, i et −i1, −1 et i
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 3 sur 10
Calcul
Calcule 1 + j + j².
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 4 sur 10
Vrai ou faux
−1 est une racine 4-ième de l’unité.
Vrai ou faux ?
VraiFaux
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 5 sur 10
QCM
Que vaut j²⁰²⁶ ?
Choisis une réponse
1jj²−1
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Exercice 6 sur 10
QCM
Pour n ≥ 3, les images des racines n-ièmes de l’unité sont les sommets…
Choisis une réponse
d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unitéd’un polygone régulier à n côtés de côté 1d’un polygone quelconqued’un polygone régulier à 2n côtés
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Exercice 7 sur 10
Calcul
Les racines 4-ièmes de l’unité forment un carré. Donne la longueur de son côté arrondie au millième.
Ta réponse
Aide d’ULU pour cet exercice
Exercice 8 sur 10
Association
Associe chaque ensemble à ses éléments.
- U₁
- U₂
- U₃
- U₄
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Exercice 9 sur 10
Calcul
Calcule le produit des racines 4-ièmes de l’unité.
Ta réponse
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Exercice 10 sur 10
Texte à trous
Complète.
Pour n ≥ 2, la somme des racines n-ièmes de l’unité vaut . Leurs images sont les sommets d’un polygone inscrit dans le cercle .
Aide d’ULU pour cet exercice

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