Le chiffre d’affaires d’une entreprise dépend-il de son budget publicitaire ? La consommation d’un véhicule de sa vitesse ? Pour étudier le lien entre deux grandeurs mesurées sur les mêmes individus, on représente un nuage de points, on cherche une droite qui l’ajuste au mieux et on mesure la force du lien avec le coefficient de corrélation.
Une question sur ce cours ?
ULU, le tuteur d’ULUMINE, t’aide à partir de ce cours.
Objectifs
- Représenter un nuage de points et calculer le point moyen
- Déterminer la droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés
- Interpréter le coefficient de corrélation
- Utiliser un changement de variable pour un ajustement exponentiel
- Distinguer corrélation et causalité
1. Nuage de points et point moyen
Série statistique à deux variables : Pour n individus, on relève deux valeurs (xi ; yi). Les points Mi(xi ; yi) forment le nuage de points.
Point moyen : C’est le point G(x̄ ; ȳ) où x̄ et ȳ sont les moyennes des xi et des yi.
| xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| yi | 3 | 5 | 6 | 8 | 9 |
x̄ = = 3 et ȳ = = 6,2 : le point moyen est G(3 ; 6,2).
2. Droite des moindres carrés
Si le nuage a une forme allongée, on l’ajuste par une droite y = ax + b. La méthode des moindres carrés choisit la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux (yi − (axi + b))².
cov(x, y) = Σ (xi − x̄)(yi − ȳ) ; V(x) = Σ (xi − x̄)²
a = ; b = ȳ − ax̄
Avec les données précédentes
- Écarts xi − x̄ : −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2. Écarts yi − ȳ : −3,2 ; −1,2 ; −0,2 ; 1,8 ; 2,8.
- Σ (xi − x̄)(yi − ȳ) = 6,4 + 1,2 + 0 + 1,8 + 5,6 = 15 et Σ (xi − x̄)² = 10.
- a = = 1,5 et b = 6,2 − 1,5 × 3 = 1,7.
Droite d’ajustement : y = 1,5x + 1,7. Pour 6 heures, on estime une note de 10,7.
3. Coefficient de corrélation
r = avec −1 ≤ r ≤ 1
| Valeur de r | Interprétation |
|---|---|
| proche de 1 | forte corrélation linéaire positive (y augmente avec x) |
| proche de −1 | forte corrélation linéaire négative (y diminue quand x augmente) |
| proche de 0 | pas de lien linéaire (il peut exister un autre type de lien) |
Dans l’exemple, r = ≈ 0,99 : l’ajustement affine est très justifié.
4. Changement de variable et prévisions
Si y semble croître de façon exponentielle (nuage courbé), on pose z = ln y. Si le nuage (x ; z) est allongé, on ajuste z = ax + b, ce qui donne y = ebeax : un modèle exponentiel.
- Interpolation : estimer y pour x dans la plage des données (assez fiable).
- Extrapolation : estimer y en dehors de cette plage (risqué : rien ne garantit que la tendance se poursuive).
À retenir
- Point moyen G(x̄ ; ȳ) ; la droite des moindres carrés passe par G.
- a = et b = ȳ − ax̄.
- r ∈ [−1 ; 1] : |r| proche de 1 signifie un fort lien linéaire.
- z = ln y transforme une tendance exponentielle en tendance affine.
- Corrélation ne signifie pas causalité ; l’extrapolation est risquée.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.