Une série statistique se résume par des indicateurs de position (moyenne, médiane) et de dispersion (écart type, écart interquartile). Bien choisis, ils permettent de comparer deux séries sans les lire valeur par valeur.
Objectifs
- Calculer une moyenne pondérée et utiliser la linéarité de la moyenne
- Déterminer médiane et quartiles
- Calculer et interpréter un écart type
- Exploiter une série regroupée en classes (histogramme, moyenne, classe médiane)
1. Indicateurs de position
Moyenne : Pour une série de valeurs x₁, …, xp d’effectifs n₁, …, np et d’effectif total N : x̄ = .
Médiane : Valeur Me qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont ≤ Me et au moins la moitié sont ≥ Me.
Série : 3 ; 7 ; 8 ; 12 ; 15 ; 20
- N = 6 est pair : la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs.
- Me = = 10
Ajouter une valeur très grande ou très petite (valeur extrême) modifie beaucoup la moyenne, mais peu la médiane : la médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes.
2. Quartiles et dispersion
- Q₁ : plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.
- Q₃ : plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.
- Écart interquartile : Q₃ − Q₁. Avec min, Q₁, Me, Q₃, max, on trace une boîte à moustaches.
Série de 8 valeurs : 2 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15
- 25 % de 8 = 2 : Q₁ est la 2e valeur, Q₁ = 5.
- 75 % de 8 = 6 : Q₃ est la 6e valeur, Q₃ = 12.
- Écart interquartile : 12 − 5 = 7.
Écart type : La variance V est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : V = . L’écart type est s = √V. Plus s est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.
3. Séries regroupées en classes
Quand les valeurs sont regroupées en classes [a ; b[, on représente la série par un histogramme : l’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif de la classe.
| Classe | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ |
|---|---|---|---|
| Centre | 5 | 15 | 25 |
| Effectif | 4 | 10 | 6 |
| Effectif cumulé croissant | 4 | 14 | 20 |
- Moyenne estimée : on remplace chaque classe par son centre. x̄ ≈ = = 16 min.
- Classe médiane : la première classe où l’effectif cumulé atteint ou dépasse la moitié de N (ici 10) : c’est [10 ; 20[.
- Le polygone des fréquences cumulées croissantes permet d’estimer graphiquement la médiane : abscisse du point d’ordonnée 0,5.
À retenir
- x̄ = ; la moyenne de ax + b est a x̄ + b.
- La médiane partage la série ordonnée en deux ; elle résiste aux valeurs extrêmes.
- Q₁ et Q₃ : premières valeurs atteignant 25 % et 75 % de l’effectif.
- Écart type s = √V : mesure la dispersion autour de la moyenne.
- En classes : centres pour la moyenne, effectifs cumulés pour la classe médiane.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.