Savoir quand une grandeur augmente ou diminue, et où elle atteint sa plus grande ou sa plus petite valeur, est souvent plus utile que connaître toutes ses valeurs. C’est l’objet de l’étude des variations, résumée dans un tableau de variations.
Objectifs
- Connaître les définitions de fonction croissante et décroissante sur un intervalle
- Lire et construire un tableau de variations
- Déterminer un maximum ou un minimum
- Comparer des images et résoudre un problème d’optimisation
1. Sens de variation
Fonction croissante : f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a et b de I : a < b ⟹ f(a) ≤ f(b). Elle est strictement croissante si a < b ⟹ f(a) < f(b).
Fonction décroissante : f est décroissante sur I si, pour tous a et b de I : a < b ⟹ f(a) ≥ f(b) (strictement : f(a) > f(b)).
2. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les intervalles où f est croissante (flèche montante ↗) ou décroissante (flèche descendante ↘), avec les valeurs de f aux bornes.
| x | −3 | 1 | 4 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 2 | ↘ | −4 | ↗ | 5 |
- f est décroissante sur [−3 ; 1] et croissante sur [1 ; 4].
- f(0) et f(0,5) : 0 < 0,5 dans [−3 ; 1] où f décroît, donc f(0) ≥ f(0,5).
3. Extremums
Maximum, minimum : Sur un intervalle I, f admet un maximum M atteint en a si f(a) = M et f(x) ≤ M pour tout x de I. Le minimum se définit de même avec f(x) ≥ m.
Exemple
Dans le tableau ci-dessus : le minimum de f sur [−3 ; 4] est −4 (atteint en 1) et le maximum est 5 (atteint en 4), car 5 > 2.
Montrer que f(x) = −(x − 3)² + 7 admet un maximum
- Pour tout réel x, (x − 3)² ≥ 0, donc −(x − 3)² ≤ 0.
- Donc f(x) ≤ 7, et f(3) = 7.
f admet un maximum égal à 7, atteint en x = 3.
4. Problème d’optimisation
Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Quelle est son aire maximale ?
- Si x est la largeur, la longueur vaut 10 − x, avec x ∈ ]0 ; 10[.
- Aire : A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
- On vérifie que A(x) = 25 − (x − 5)² (en développant : 25 − x² + 10x − 25 = 10x − x²).
- (x − 5)² ≥ 0, donc A(x) ≤ 25, avec égalité pour x = 5.
L’aire maximale est 25 cm², obtenue pour un carré de côté 5 cm.
À retenir
- Croissante : a < b ⟹ f(a) ≤ f(b) ; décroissante : a < b ⟹ f(a) ≥ f(b).
- Le tableau de variations résume le sens de variation et les valeurs aux bornes.
- Le maximum est la plus grande valeur prise par f sur l’intervalle ; il faut préciser où il est atteint.
- Pour prouver un maximum M : montrer f(x) ≤ M pour tout x et trouver a tel que f(a) = M.
Et maintenant, à toi !
Vérifie que tu as compris avec les exercices, puis révise avec la fiche.