Exercices : variations et extremums d’une fonction

Exercice 1

Réponse : f(1) < f(3)

1 et 3 sont dans [0 ; 5], 1 < 3 et f est strictement croissante : elle conserve l’ordre, donc f(1) < f(3).

Exercice 2

Réponse : Vrai

C’est la définition : une fonction décroissante inverse l’ordre (au sens large).

Exercice 3

Réponse : 5

Les valeurs « hautes » du tableau sont f(−3) = 2 et f(4) = 5. La plus grande est 5, atteinte en x = 4.

Exercice 4

Réponse : -4

f décroît jusqu’en 1 puis croît : son minimum est f(1) = −4.

Exercice 5

Réponse : g(−2) ≥ g(3)

−2 < 3 et g est décroissante : elle inverse l’ordre, donc g(−2) ≥ g(3).

Exercice 6

Réponse : 7

Un carré est positif, donc −(x − 3)² ≤ 0 et f(x) ≤ 7. L’égalité a lieu pour x = 3.

Exercice 7

Réponse : 25 cm²

Avec une largeur x, la longueur vaut 10 − x et l’aire A(x) = x(10 − x) = 25 − (x − 5)².

1. (x − 5)² ≥ 0, donc A(x) ≤ 25.
2. A(5) = 25 : maximum pour un carré de côté 5 cm.

Exercice 8

Réponse : minimum · maximum

Un minimum est une valeur atteinte en dessous de laquelle f ne descend jamais ; un maximum, une valeur atteinte au-dessus de laquelle f ne monte jamais.

Exercice 9

Exemple de réponse : Pour tout réel x, (x + 2)² ≥ 0, donc (x + 2)² − 1 ≥ −1, c’est-à-dire f(x) ≥ −1.
De plus f(−2) = 0 − 1 = −1.
Donc f admet un minimum égal à −1, atteint en x = −2.

Il faut deux arguments : une inégalité valable pour tout x, et une valeur de x où l’égalité est atteinte.

• Inégalité f(x) ≥ −1 justifiée par le carré.
• Valeur atteinte : f(−2) = −1.
• Conclusion complète.